Введення системи координат

1. координати куба
2. Координати тригранної призми
3. Координати шестигранної призми
4. Координати чотирикутної піраміди

Метод координат - це, звичайно, дуже добре, але в справжніх завданнях C2 ніяких координат і векторів немає. Тому їх доведеться вводити. Так-так, ось так взяти і ввести: вказати початок відліку, одиничний інтервал і напрямок осей x, y і z.

Саме чудове властивість цього методу полягає в тому, що не має ніякого значення, як саме вводити систему координат. Якщо все обчислення будуть правильними, то і відповідь буде правильним.

Проте, наведу деякі рекомендації, як краще ввести систему координат для найчастіших в завданні C2 багатогранників. Із зазначенням конкретних точок. У всіх випадках упор робиться на мінімізацію обсягу обчислень.

координати куба

Якщо в задачі C2 буде куб - вважайте, що вам пощастило. Це найпростіший багатогранник, все двогранні кути якого рівні 90 °.

Система координат також вводиться дуже просто:

1. Початок координат - в точці A;
2. Найчастіше ребро куба не вказано, тому приймаємо його за одиничний інтервал;
3. Ось x направляємо по ребру AB, y - по ребру AD, а вісь z - по ребру AA1.

Зверніть увагу: вісь z прямує вгору! Після двовимірної системи координат це трохи незвично, але насправді дуже логічно.

Отже, тепер у кожної вершини куба є координати. Збираючи насіння в таблицю - окремо для нижньої площини куба:

Точка A B C D Координати (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0)

І для верхньої:

Точка A1 B1 C1 D1 Координати (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)

Нескладно помітити, що точки верхньої площини відрізняються відповідних точок нижньої тільки координатою z. Наприклад, B = (1, 0, 0), B1 = (1, 0, 1). Головне - не заплутатися!

Координати тригранної призми

Призма - це вже набагато веселіше. При правильному підході досить знати координати тільки нижньої основи - верхнє буде вважатися автоматично.

У завданнях C2 зустрічаються виключно правильні тригранні призми (прямі призми, в основі яких лежить правильний трикутник). Для них система координат вводиться майже так само, як і для куба. До речі, якщо хто не в курсі, куб - це теж призма, тільки чотиригранна.

Отже, поїхали! Вводимо систему координат:

1. Початок координат - в точці A;
2. Сторону призми приймаємо за одиничний інтервал, якщо інше не зазначено в умові завдання;
3. Ось x направляємо по ребру AB, z - по ребру AA1, а вісь y розташуємо так, щоб площина OXY збігалася з площиною основи ABC.

Тут потрібні деякі пояснення. Справа в тому, що вісь y НЕ збігається з ребром AC, як багато хто вважає. А чому не збігається? Подумайте самі: трикутник ABC - рівносторонній, в ньому всі кути по 60 °. А кути між осями координат повинні бути по 90 °, тому зверху картинка буде виглядати так:

Сподіваюся, тепер зрозуміло, чому вісь y не піде уздовж AC. Проведемо в цьому трикутнику висоту CH. Трикутник ACH - прямокутний, причому AC = 1, тому AH = 1 · cos A = cos 60 °; CH = 1 · sin A = sin 60 °. Ці факти потрібні для обчислення координат точки C.

Тепер поглянемо на всю призму разом з побудованої системою координат:

Отримуємо наступні координати точок:

Як бачимо, точки верхнього підстави призми знову відрізняються від відповідних точок нижнього лише координатою z. Основна проблема - це точки C і C1. У них є ірраціональні координати, які треба просто запам'ятати. Ну, або зрозуміти, звідки вони виникають.

Координати шестигранної призми

Шестигранна призма - це «клонована» тригранна. Можна зрозуміти, як це відбувається, якщо поглянути на нижню підставу - позначимо його ABCDEF. Проведемо додаткові побудови: відрізки AD, BE і CF. Вийшло шість трикутників, кожен з яких (наприклад, трикутник ABO) є підставою для тригранної призми.

Тепер введемо власне систему координат. Початок координат - точку O - помістимо в центр симетрії шестикутника ABCDEF. Ось x піде уздовж FC, а вісь y - через середини відрізків AB і DE. Отримаємо таку картинку:

Зверніть увагу: початок координат НЕ збігається з вершиною многогранника! Насправді, при вирішенні реальних завдань ви виявите, що це дуже зручно, оскільки дозволяє значно зменшити обсяг обчислень.

Залишилося додати вісь z. За традицією, проводимо її перпендикулярно площині OXY і направляємо вертикально вгору. Отримаємо підсумкову картинку:

Запишемо тепер координати точок. Припустимо, що всі ребра нашої правильної шестигранної призми рівні 1. Отже, координати нижньої основи:

Координати верхнього підстави зрушені на одиницю по осі z:

Координати чотирикутної піраміди

Піраміда - це взагалі дуже суворо. Ми розберемо лише найпростіший випадок - правильну чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні одиниці. Однак в справжніх завданнях C2 довжини ребер можуть відрізнятися, тому нижче наведена і загальна схема обчислення координат.

Отже, правильна чотирикутна піраміда. Це така ж, як у Хеопса, тільки трохи менше. Позначимо її SABCD, де S - вершина. Введемо систему координат: початок в точці A, одиничний інтервал AB = 1, вісь x направимо уздовж AB, вісь y - уздовж AD, а вісь z - вгору, перпендикулярно площині OXY. Для подальших обчислень нам буде потрібно висота SH - ось і побудуємо її. Отримаємо наступну картинку:

Тепер знайдемо координати точок. Для початку розглянемо площину OXY. Тут все просто: в основі лежить квадрат, його координати відомі. Проблеми виникають з точкою S. Оскільки SH - висота до площини OXY, точки S і H відрізняються лише координатою z. Власне, довжина відрізка SH - це і є координата z для точки S, оскільки H = (0,5; 0,5; 0).

Зауважимо, що трикутники ABC і ASC рівні за трьома сторонами (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC - загальна). Отже, SH = BH. Але BH - половина діагоналі квадрата ABCD, тобто BH = AB · sin 45 °. Отримуємо координати всіх точок:

Ось і все з координатами піраміди. Але не з координатами взагалі. Ми розглянули лише найпоширеніші багатогранники, однак цих прикладів досить, щоб самостійно обчислити координати будь-яких інших фігур. Тому можна приступати, власне, до методів вирішення конкретних завдань C2.

Дивіться також:

1. Чотирикутна піраміда в завданні C2
2. Метод координат в просторі
3. Як вирішувати квадратні рівняння
4. Основне тригонометричну тотожність
5. Метод інтервалів: випадок нестрогих нерівностей
6. ЄДІ-2014 з математики та відкритий банк завдань