Завдання B13: Метод обходу точок

1. Теорема Піфагора в просторі
2. Як пов'язана теорема Піфагора і відстані між точками в просторі
3. Метод обходу точок
4. Знаходження діагоналі методом обходу точок
5. Діагональ паралелепіпеда не залежить від маршруту обходу
6. Обчислення квадрата відстані методом обходу точок
7. Остаточне рішення задачі B13
8. Ключовий прийом - обхід точок
9. Коротке зведення за завданнями B13

Це перший урок з серії відеоуроків, присвячених задачам B13. Перед нами стандартна задача, яку часто дають на пробниках і контрольних роботах. Однак вирішувати її ми будемо дуже нестандартним методом. :)

Завдання B13. Дан багатогранник, зображений на малюнку. Всі двогранні кути прямі. Знайдіть, наскільки відстань між вершинами і C2 відрізняється від квадрата відстані між вершинами і G1. У відповідь запишіть позитивне число.

Для вирішення будь-яких таких завдань нам буде потрібно узагальнена теорема Піфагора. Давайте Відмотаємо час назад і згадаємо, що таке звичайна теорема Піфагора. У нас є прямокутний трикутник з катетами, і гіпотенузою:

В цьому випадку квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

Теорема Піфагора в просторі

Але все це розглядається лише на площині, тому що трикутник - це плоска фігура. Однак та ж сама формула працює і в просторі.

Діагональ позначимо літерою. В цьому випадку можна записати формулу:

Як пов'язана теорема Піфагора і відстані між точками в просторі

Можливо, хтось зараз запитає: а яке відношення діагональ, тим більше, в паралелепіпеді має до нашого прямокутного трикутника зі сторонами, і? Ставлення, насправді, саме пряме. Давайте добудуємо наш трикутник до прямокутника, і отримаємо, що гіпотенуза є діагоналлю на прямокутнику.

Таким чином, перед нами, по суті, аналог теореми Піфагора для тривимірного простору. Давайте трошки перепишемо її:

Уважні учні напевно помітять, що ця формула дуже схожа на формулу відстані в тривимірному просторі між точками і. Зрозуміло, за умови, що точка лежала б на початку координат, а точка мала координати, рівні довжинам сторін нашого паралелепіпеда:

Однак нічого дивного в цьому немає, тому що довжина діагоналі - це якраз і є відстань між найбільш віддаленими точками паралелепіпеда.

Метод обходу точок

Але вистачить теорії, давайте перейдемо безпосередньо до нашого завдання. Отже, в першу чергу потрібно знайти відстань від точки до точки 2. І ось для того, щоб знайти яку, зараз ми скористаємося чудовим прийомом, який називається обхід точок.

Метод обходу точок полягає в наступному:

1. Побудуємо систему координат з осями, паралельними ребрам нашого багатогранника. Назвемо ці осі, і.
2. А тепер давайте поставимо ручку в нашу точку і спробуємо якимсь чином, рухаючись по ребрах, дістатися до точки 2.

Знаходження діагоналі методом обходу точок

Зрозуміло, послідовність осей може бути будь-який, рішення і відповідь від цього не зміниться. І рухатися з однієї точки в іншу теж можна по-різному. Наприклад, можна йти до точки, потім до точки, потім вгору до точки 2 і, нарешті, рухатися в далечінь - і ми потрапимо в точку 2:

Давайте розмітимо, яку ми здобули шлях:

1. З точки в точку ми рухалися вздовж осі в позитивному напрямку. Запишемо: 1x;
2. Від точки в точку ми рухалися вздовж осі ігрек знову ж по позитивному напрямку, тобто вглиб. Так і запишемо 1y;
3. Потім ми зробили крок на два кроки вгору з точки в точку 2. так і напишемо: 2z;
4. Ще один крок з точки 2 в точку 2 уздовж, т. Е. Вглиб нашого малюнка. Запишемо: 1.

А тепер, коли ми відзначили кожна ланка нашої ламаної, що з'єднують точки і 2, випишемо, скільки кроків ми отримали уздовж кожної координатної осі з урахуванням знаків:

1. : 1;
2. : 1 + 1 = 2;
3. : 2.

Тепер повертається до нашої узагальненої теореми Піфагора і помічаємо, що осі, і - це, по суті, і, т. Е. Довжини сторін паралелепіпеда. Отже, ми можемо порахувати довжину діагоналі цього паралелепіпеда:

От і все! Ми отримали відстань від точки до 2, згідно з малюнком нашого багатогранника.

Діагональ паралелепіпеда не залежить від маршруту обходу

Однак уважні учні запитають: а що буде, якщо ми підемо іншим шляхом? Адже від точки до точки 2 можна йти й іншим шляхом: спочатку вгору до точки 1, потім вглиб до точки 1, потім вгору до точки 2, потім знову в глибину до точки 2, і, нарешті вправо до точки 2:

Отримали зовсім інший маршрут, і виникає логічне запитання: чи не буде довжина на цьому маршруті мати зовсім інше значення координат, і, і, відповідно, інше значення? Давайте перевіримо.

Розмічаємо наш другий маршрут:

1. з точки в точку 1 ми потрапляємо, зміщенням осі на одиничку: 1z;
2. з точки 1 в точку 1 ми потрапляємо, зміщенням по на одиничку: 1y;
3. з точки 1 в точку 2 - зміщення по: 1z;
4. з точки 2 в точку 2 - зміщення по: 1y;
5. від 2 до 2 - зміщення вправо, тобто в позитивну сторону по: 1.

Виписуємо отримані зміщення:

1. : 1
2. : 1 + 1 = 2
3. : 1 + 1 = 2

Разом вираз для діагоналі вийшло в точності тим же самим:

Таким чином, ми переконалися, що підсумкове значення величини, т. Е. Відстань між точками і 2 не залежить від того, яким маршрутом ми будемо йти з однієї точки в іншу. Отже, при вирішенні реальних завдань ви маєте право вибрати будь-який маршрут, який буде зручний саме вам. І взагалі, той факт, що відстань між двома точками не залежить від того, як це відстань міряти, насправді цілком логічний. Ми ж займаємося математикою, а не ворожінням на кавовій гущі. Тому, за яким би шляху ми не пішли, відповідь вийде одним і тим же.

Відстань між двома точками в просторі не залежить від того, як ми це відстань вважаємо. Якщо всі розрахунки виконані правильно, відповідь вийде одним і тим же.

Обчислення квадрата відстані методом обходу точок

Повертаємося до нашого завданням і переходимо до другої його частини. Потрібно знайти відстань між точкою і точкою 1. Знову пропоную скористатися методом обходу точок. Почнемо шлях від точки, будемо рухатися до точки, потім з точки в точку 1, і потім від 1 безпосередньо в точку 1:

Розмічаємо нашу ламану:

1. з точки в точку ми потрапляємо зміщенням по осі на одиницю в сторону, протилежну позитивного напрямку осі: -1y;
2. потім ми піднімаємося вгору на одну одиницю по осі, т. е. цей відрізок ламаної позначаємо як 1z;
3. потім ми зміщуємося вліво з точки 1 в точку 1 на дві одиниці вздовж осі і отримуємо -2.

Давайте запишемо, що у нас вийшло:

1. : -2
2. : -1
3. : 1

По кожній з осей зафіксовано лише одне зміщення, нічого складати, як в попередніх випадках, не треба. Просто знаходимо довжину відрізка, що з'єднує точки і 1. Давайте назвемо цей відрізок 2. Його довжина дорівнює:

Остаточне рішення задачі B13

Згадуємо, що від нас вимагається знайти в умові завдання. А від нас вимагається квадрат відстані між цими вершинами. Отже, нам потрібна величина:

При творі в квадрат корінь зникає.

Уважно читайте умову задачі. Недостатньо просто знайти довжину відрізка або значення змінної - потрібно пред'явити саме ту величину, яку у нас запитують.

Залишилося знайти ту саму різницю, яку від нас вимагають знайти в умові завдання. Назвемо її Δ:

Ось ми і знайшли відповідь - він дорівнює 3.

Ключовий прийом - обхід точок

Ще раз - ключова ідея рішення всієї цієї задачі. Вона полягає в тому, щоб прямо на малюнку накреслити шлях з однієї шуканої точки в іншу і подивитися: уздовж яких координатних осей виконується зсув і наскільки. Потім ми виписуємо ці зсуви і вважаємо загальна відстань по узагальненої теореми Піфагора.

При цьому виникає чудовий ефект: підсумкове відстань, яке ми вважаємо, не залежить від того, який маршрут обходу ми виберемо. У будь-якому випадку, як би ми не йшли з однієї точки в іншу, відстань вийде одним і тим же. Зрозуміло, за умови, що всі обчислення будуть виконані вірно.

Аналогічним чином ми вважається другою відстань. Нехай вас абсолютно не бентежить, що тут виходять негативні координати, тому що при зведенні в квадрат мінуси спалюються. Нарешті, залишається порахувати ту саму різницю, яку потрібно знайти в умові завдання. Тут взагалі все дуже просто, і ніяких додаткових пояснень не потрібно.

Коротке зведення за завданнями B13

Отже, ми вирішили задачу B13 ми будемо методом обходу точок. Давайте ще раз подивимося, з яких кроків складалося наше рішення:

1. Додати до малюнка осі координат, паралельні ребрам багатогранника;
2. Накреслити «траєкторію руху» від однієї точки до іншої, рухаючись виключно по ребрах вихідного багатогранника;
3. З'ясувати, уздовж якої осі відбувається зміщення на кожному відрізку отриманої ламаної, і порахувати загальну зміщення;
4. Знайти підсумкове відстань по узагальненої теореми Піфагора: 2 = 2 + 2 + 2, де,, - сумарні зміщення вздовж кожної з осей.

Але що буде, якщо вибрати інший маршрут? Чи не станеться так, що при цьому виникнуть інші сумарні зміщення і, отже, інше відстань? Поспішаю вас порадувати: сумарні зміщення і відстань між точками не залежить від обраного маршруту. Ми переконалися в цьому особисто, коли розглянули альтернативний маршрут обходу.

Загалом, креслите шлях так, як вам зручно - відповідь завжди буде одним і тим же. В цьому і полягає принадність методу обходу точок.

Дивіться також:

1. Обхід точок в стереометрії - 2
2. Розбір завдання 8 з ЄДІ на площу повної поверхні призми / паралелепіпеда.
3. Що таке числова дріб
4. Рішення задач B12: №440-447
5. Як уявити звичайну дріб у вигляді десяткового
6. Завдання B2 про комісію в терміналі