2.6. механічні хвилі

Поширення поперечного хвильового імпульсу по натягнутому гумовому джгута

Поширення поздовжнього хвильового імпульсу по пружності стрижня

Характерною особливістю механічних хвиль є те, що вони поширюються в матеріальних середовищах (твердих, рідких або газоподібних). Існують хвилі, які здатні поширюватися і в порожнечі (наприклад, світлові хвилі). Для механічних хвиль обов'язково потрібне середовище, що володіє здатністю запасати кінетичну і потенційну енергію. Отже, середовище має володіти інертними і пружними властивостями. У реальних середовищах ці властивості розподілені по всьому об'єму. Так, наприклад, будь-який малий елемент твердого тіла має масу і пружністю. У простій одновимірної моделі тверде тіло можна уявити як сукупність кульок і пружинок (рис. 2.6.3).

Найпростіша одномірна модель твердого тіла

У цій моделі інертні і пружні властивості розділені. Кульки мають масу m, а пружинки - жорсткістю k. За допомогою такої простої моделі можна описати поширення поздовжніх і поперечних хвиль у твердому тілі. У поздовжніх хвилях кульки відчувають зміщення вздовж ланцюжка, а пружинки розтягуються або стискаються. Така деформація називається деформацією розтягування або стиснення ( см. §1.12 ). У рідинах або газах деформація такого роду супроводжується ущільненням або розрідженням.

Поздовжні механічні хвилі можуть поширюватися в будь-яких середовищах - твердих, рідких і газоподібних.

Якщо в одновимірної моделі твердого тіла один або кілька кульок змістити в напрямку, перпендикулярному ланцюжку, то виникне деформація зсуву. Деформовані при такому зміщенні пружини будуть прагнути повернути зміщені частки в положення рівноваги. При цьому на найближчі незсунені частки діятимуть пружні сили, які прагнуть відхилити їх від положення рівноваги. В результаті уздовж ланцюжка побіжить поперечна хвиля.

У рідинах і газах пружна деформація зсуву не виникає. Якщо один шар рідини або газу змістити на деяку відстань щодо сусіднього шару, то ніяких дотичних сил на кордоні між шарами не з'явиться. Сили, що діють на кордоні рідини і твердого тіла, а також сили між сусідніми шарами рідини завжди спрямовані по нормалі до кордону - це сили тиску. Те ж відноситься до газоподібному середовищі. Отже, поперечні хвилі не можуть існувати в рідкому або газоподібному середовищах.

Значний інтерес для практики представляють прості гармонійні або синусоїдальні хвилі. Вони характеризуються амплітудою A коливання частинок, частотою f і довжиною хвилі λ. Синусоїдальні хвилі поширюються в однорідних середовищах з деякою постійною швидкістю υ.

Зсув y (x, t) частинок середовища з положення рівноваги в синусоїдальної хвилі залежить від координати x на осі OX, уздовж якої поширюється хвиля, і від часу t за законом:

На рис. 2.6.4 зображені «моментальні фотографії» поперечної хвилі в два моменти часу: t і t + Δ t. За час Δ t хвиля перемістилася уздовж осі OX на відстань υΔ t. Такі хвилі прийнято називати біжать (на відміну від стоячих хвиль, див. Далі).

«Моментальні фотографії» біжить синусоїдальної хвилі в момент часу t і t + Δ t

Довжиною хвилі λ називають відстань між двома сусідніми точками на осі OX, що коливаються в однакових фазах. Відстань, яка дорівнює довжині хвилі λ, хвиля пробігає за період Т, отже, λ = υ T, де υ - швидкість поширення хвилі.

Для будь-якої обраної точки на графіку хвильового процесу (наприклад, для точки A на рис. 2.6.4) з плином часу t змінюється координата x цієї точки, а значення виразу ω t - kx не змінюється. Через проміжок часу Δ t точка A переміститься по осі OX на деяку відстань Δ x = υΔ t. отже:

Звідси випливає:

Таким чином, що біжить синусоїдальна хвиля має подвійний періодичністю - в часі і просторі. Часовий період дорівнює періоду коливань T частинок середовища, просторовий період дорівнює довжині хвилі λ. хвильове число є просторовим аналогом кругової частоти

Звернемо увагу на те, що рівняння

У біжучому синусоїдальної хвилі кожна частка середовища здійснює гармонійні коливання з певною частотою ω. Тому, як і в разі простого коливального процесу, середня потенційна енергія, запасені в деякому обсязі середовища, дорівнює середньої кінетичної енергії в тому ж обсязі і пропорційна квадрату амплітуди коливань.

Звідси випливає, що при поширенні біжучої хвилі виникає потік енергії, пропорційний швидкості хвилі і квадрату її амплітуди.

Ті, що біжать хвилі поширюються в середовищах з певними швидкостями, що залежать від типу хвилі, а також від інертних і пружних властивостей середовища.

Швидкість поперечних хвиль в натягнутій струні або гумовому джгуті залежить від погонного маси μ (т. Е. Маси одиниці довжини) і сили натягу T:

Швидкість поширення поздовжніх хвиль в безмежному середовищі визначається щільністю середовища ρ (т. Е. Масою одиниці об'єму) і модулем всебічного стиснення B, який дорівнює коефіцієнту пропорційності між зміною тиску Δ p і відносним зміною обсягу Δ V / V, взятому з протилежним знаком:

Вираз для швидкості поширення поздовжніх хвиль в безмежних середовищах має вигляд

Наприклад, при температурі 20 ° С швидкість поширення поздовжніх хвиль у воді υ ≈ 1480 м / с, в різних сортах стали υ ≈ 5-6 км / с.

При поширенні поздовжніх хвиль в пружних стрижнях в формулу для швидкості хвиль замість модуля всебічного стиснення B входить модуль Юнга E ( см. §1.12 ):

Для стали відміну E від B невелика, для інших матеріалів воно може становити 20-30% і навіть більше.

Модель. Поздовжні і поперечні хвилі

Якщо механічна хвиля, що розповсюджується в середовищі, зустрічає на своєму шляху яку-небудь перешкоду, то вона може різко змінити характер своєї поведінки. Наприклад, на межі поділу двох середовищ з різними механічними властивостями хвиля частково відбивається, а частково проникає в другу середу. Хвиля, що біжить по гумовому джгута або струні відбивається від нерухомо закріпленого кінця; при цьому з'являється хвиля, що біжить в зустрічному напрямку. У струні, закріпленої на обох кінцях, виникають складні коливання, які можна розглядати як результат накладення (суперпозиції) двох хвиль, що поширюються в протилежних напрямках і відчувають відображення і переотражения на кінцях. Коливання струн, закріплених на обох кінцях, створюють звуки всіх струнних музичних інструментів. Дуже схоже явище виникає при звучанні духових інструментів, в тому числі органних труб.

Якщо хвилі, що біжать по струні у зустрічних напрямках, мають синусоїдальну форму, то за певних умов вони можуть утворити стоячу хвилю.

Нехай струна довжини l закріплена так, що один з її кінців знаходиться в точці x = 0, а інший - в точці x1 = L (рис. 2.6.5). У струні створено натяг T.

Освіта стоячій хвилі в струні, закріпленої на обох кінцях

За струні одночасно поширюються в протилежних напрямках дві хвилі однієї і тієї ж частоти:

• y1 (x, t) = A cos (ω t + kx) - хвиля, що біжить справа наліво;

• y2 (x, t) = - A cos (ω t - kx) - хвиля, що біжить зліва направо.

У точці x = 0 (один із закріплених кінців струни) падаюча хвиля y1 в результаті відображення породжує хвилю y2. При відображенні від нерухомо закріпленого кінця відбита хвиля виявляється в протифазі з падаючої. Згідно з принципом суперпозиції, який є експериментальним фактом, коливання, викликані зустрічними хвилями в кожній точці струни, складаються. Таким чином, результуюче коливання в кожній точці дорівнює сумі коливань, викликаних хвилями y1 і y2 окремо. отже,

Це і є стояча хвиля. У стоячій хвилі існують нерухомі точки, які називаються вузлами. Посередині між вузлами знаходяться точки, які коливаються з максимальною амплітудою. Ці точки називаються пучностями.

Обидва нерухомих кінця струни повинні бути вузлами. Наведена вище формула задовольняє цій умові на лівому кінці (x = 0). Для виконання цієї умови і на правому кінці (x = L), необхідно щоб kL = nπ, де n - будь-яке ціле число. Це означає, що стояча хвиля в струні виникає не завжди, а тільки в тому випадку, якщо довжина L струни дорівнює цілому числу довжин півхвиль:

Набору значень λ n довжин хвиль відповідає набір можливих частот fn:

У стоячій хвилі немає потоку енергії. Коливальна енергія, укладена в відрізку струни між двома сусідніми вузлами, що не транспортується в інші частини струни. У кожному такому відрізку відбувається періодичне (двічі за період T) перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад як у звичайній коливальній системі. Але на відміну від вантажу на пружині або маятника, у яких є єдина власна частота струна має нескінченним числом власних (резонансних) частот f n. На рис. 2.6.6 зображені кілька типів стоячих хвиль в струні, закріпленої на обох кінцях.

Перші п'ять нормальних мод коливань струни, закріпленої на обох кінцях

Відповідно до принципу суперпозиції стоячі хвилі різних типів (т. Е. З різними значеннями n) можуть одночасно бути присутнім в коливаннях струни.

Модель. Нормальні моди струни